Determinacion de la Transformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside

Es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o función de Heaviside 

R se define como:

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general H(t-a)=0 para t<a.

Determinacion de la Transformada Inversa Mediante el uso de las Fracciones Parciales

Evalúe la siguiente transformada de Laplace inversa utilizando las fracciones parciales 

 Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Por consiguiente, con a= 3 y n= 2, la transformada anterior se escribe de la siguiente manera: 

Al colocar los dos términos del lado derecho en un denominador común, se obtiene el numerador 2s+5=A(s-3)+B , y esta identidad produce A=2 y B=11
Por tanto se tiene:

Se obtiene la transformada de Laplace inversa

Propiedades de la Transformada Inversa(Linealidad,Translacion).

Propiedad de linealidad
Teorema. Si c1 & c2 son constantes arbitrarias y f1(s) & f2(s) son las transformadas de Laplace de F1(t) & F2(t) respectivamente, entonces:

Algunas transformadas Inversas

 Transformada Inversa de Fourier

 

Transformada Inversa de Laplace

Sea f(s) la Transformada de Laplace de una funcion f(t)

Transformada de Laplace de una Funcion Delta Dirac

Definicion [Transformada de la Place]

 

Función Delta de Dirac

La delta de Dirac es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral: 

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

Transformada de Laplace de una Función Periódica.

FUNCIONES PERIÓDICAS

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periodica)

Demostracion

Usando la Definicion:

ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES PERIÓDICAS IMPORTANTES

 

Teorema de Convolucion

Convolución y transformadas

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.

Teorema de Convolucion

Propiedades de la Convolucion.

1.- f * g = g * f  (ley conmutativa) 

2- f * ( g * h ) = f * g + f * h  (ley distributiva) 

3.- (f * g) * h = f * ( g * h) (ley asociativa) 

4.- f * 0 = 0 * f = 0 

Demostración

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La Transformada de Laplace de la Derivada

Sea f(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es limite de f(t) cuando t tiende a cero.

La transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

 En general, para las derivadas de orden superior f(t):

Propiedades de la Transformada de Laplace (Linealidad, Teorema de Traslacion)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Alfa y Beta constantes.    

 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Uso del primer teorema de traslacion

  

EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.

                                         

SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:

 

 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  t

 

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

 Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento

 

Transformada de Laplace de Funciones Multiplicativas t^n

Potencia n-ésima

Desplazamiento potencia n-ésima

 

Transformada de Laplace de la funcion Escalon Unitario.

Sea la función:

donde  A es una constante. Obsérvese  que se trata de un caso especial de la función exponencial

 

donde     

      

La función escalón queda indefinida en t=0. Su transformada de Laplace está dada por la expresión siguiente, la transformada obtenida, es válida en todo el plano s excepto en el polo s=0.

La función escalón cuya altura es la unidad, recibe el nombre de función escalón unitario. La función escalón unitario que se produce en t=t0, se denota a menudo como:

La función escalón de altura A, también se puede escribir como :

La transformada de Laplace de la función escalón unitario, definida como:

Físicamente, una función escalón producida en t=0 corresponde a una señal constante aplicada súbitamente al sistema en el instante en que el tiempo t es igual a cero.