Condiciones Suficientes de existencia para la tranformada de Laplace

La integral que define la transformada de Laplace no converge necesariamente. Por ejemplo,

existen. Las condiciones que garantizan la existencia de 

son que f sea continua a trozos y que sea de orden exponencial.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Integrales impropias. Dado q la transformada de Laplace implica una integral q va de cero a infinito, es necesario un conocimiento de las integrales impropias de este tipo para apreciar el desarrollo ulterior de las propiedades de la transformada.

 Una integral impropia en un intervalo no acotado se define como un límite de integrales en intervalos finitos; asi, 

Donde A es un numero real positivo. Si la integral de α a A existe para toda A>α y si existe el limite cuando A tiende a infinito, entonces se dice que la integral impropia converge al valor limite. En caso contrario se dice que la integral diverge o no existe.

La transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. 

Entre los instrumentos muy utiles para resolver ecuaciones diferenciales lineales se encuentran las transformadas integrales.

Una transformada integral es una relacion de la forma:

 

donde K(s,t)es una funcion dada llamada kernel, o nucleo de la transformacion, y los limites de in tegracion a y B tambien estan dados.

Boyce & Diprima. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera.Editorial Limusa Wiley